Tidak terasa minggu kedua bulan ini pun sudah lewat dan kali ini baru bisa posting lagi, maaf buat para pembaca setia yang mungkin menunggu terlalu lama blog ini update hehe (harap maklum).Untuk kelanjutan blog ini mungkin akan terus membahas pembuktian dan pembuktian matematika. Karena itulah pekerjaan orang yang bergelut di bidang matematika.
Sebelum masuk ke pembuktian ada baiknya cerita - cerita sedikit tentang bilangan karena berguna pada saat kita membuktikan bilangan irrasional. Dalam sistem bilangan, bilangan real di bagi menjadi dua yaitu bilangan rasional dan irrasional. Oke langsung saja bilangan-bilangan rasional adalah bilangan yang dapat di tuliskan dalam bentuk $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan-bilangan bulat dengan $n\not=0$.Sebaliknya Untuk Bilangan irrasional tidak dapat di tuliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat.
Pembuktian kali ini akan menggunakan Reductio Ad Absurdum yaitu pembuktian yang dimulai dengan mengandaikan bahwa yang berlaku adalah ingkaran dari apa yang harus di buktikan.
Salah satu bilangan irrasional yang akan kita buktikan adalah $\sqrt{2}$. Seperti apa yang telah di definisikan bahwa bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dengan $\frac{m}{n}$. Nah kita andaikan saja bisa dinyatakan bisa $\frac{m}{n}$ hehe.
Sebelum masuk ke pembuktian ada baiknya cerita - cerita sedikit tentang bilangan karena berguna pada saat kita membuktikan bilangan irrasional. Dalam sistem bilangan, bilangan real di bagi menjadi dua yaitu bilangan rasional dan irrasional. Oke langsung saja bilangan-bilangan rasional adalah bilangan yang dapat di tuliskan dalam bentuk $\frac{m}{n}$, dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan-bilangan bulat dengan $n\not=0$.Sebaliknya Untuk Bilangan irrasional tidak dapat di tuliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat.
Pembuktian kali ini akan menggunakan Reductio Ad Absurdum yaitu pembuktian yang dimulai dengan mengandaikan bahwa yang berlaku adalah ingkaran dari apa yang harus di buktikan.
Salah satu bilangan irrasional yang akan kita buktikan adalah $\sqrt{2}$. Seperti apa yang telah di definisikan bahwa bilangan irrasional tidak dapat dinyatakan dengan $\frac{m}{n}$. Nah kita andaikan saja bisa dinyatakan bisa $\frac{m}{n}$ hehe.
Andaikan :
$\sqrt{2} = \frac{m}{n} , m,n \in B,m \not=0 (p,q=1)$ ($(p,q=1)$ di maksudkan untuk menyatakan bahwa relativ prim)
maka:
\[ \sqrt{2}=\frac{m}{n}\]
\[2=\frac{m^2}{n^2}\]
\[2n^2=m^2\]
Dari persamaan diatas terlihat bahwa $m^2$ habis di bagi 2 (genap,lihat ruas kiri), dapat kita simpulkan bahwa $m^2 genap \rightarrow m genap$.
KLAIM : $m^2 = genap \rightarrow m = genap$
$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, dengan $m$ genap, $(m,n)=1$ maka $n$ harus ganjil
\[2n^2=m^2 , m=2p \rightarrow m^2 = 4p^2\]
\[2n^2 = m^2\]
\[2n^2 = 4p^2\]
\[n^2 = 2p^2\]
Kita dapat mengambil kesimpulan lagi bahwa $n$ genap (lihat ruas kanan), jadi kita sudah mendapatkan $m$ dan $n$ adalah genap. Ini bertentangan dengan Klaim bahwa $m$ genap dan harus lah $n$ ganjil, jika $m$ genap dan $n$ genap perbandingan $m$ dan $n$ tidaklah relatif prim. Ini berarti terjadi kontradiksi dan pengandaian harus di negasikan kembali dan terbukti $\sqrt{2}$ adalah irrasional.
0 komentar:
Post a Comment